2023.09.07 2024.09.19

現代社会は線形代数が支えている！行列とベクトルが重要である背景

理人

現代でテクノロジーや科学を深く理解しようと思ったら、微分積分と線形代数の2つの理解は欠かせません。世の中はこの2つの要素でできている！と言っても過言ではありません。私が大学で数学科だった頃の教授は、『微分積分と線形代数さえ縦横無尽に使えれば研究者になれる！』と仰っていた程です。

しかし、微分積分については何となく知っている人でも、線形代数とは何かピンと来ていないかもしれません。今回の記事では、そんな線形代数についてその重要性や世の中での応用について解説します。

線形代数とは「数や矢印を並べて変形や計算をする学問」

線形代数とは、「数や矢印を並べて変形や計算をする学問」のことです。具体的には、ベクトルや行列という手法を使ってさまざまな物事や情報を表現し、それらを計算したり変形します。

例として、ベクトルは「矢印」のようなもので、方向と大きさを持っています。例えば、ある人が「東に3km、北に4km移動する」場合、この移動をベクトルで表すと次の図のようになります。

また行列は、数を格子状に並べたものです。例えば、「学校のクラスで数学と英語2つのテストの点数を記録する」場合、1人目の生徒が数学80点、英語90点を取り、2人目の生徒が数学70点、英語95点を取得した場合、これを行列で表すと次の図のようになります。

このように、線形代数を使うと、情報を整理して効率的に計算できます。

行列とベクトルを使う計算の具体例

次に、例として、『1個100円のりんごと1個50円のみかんを合わせて6個、合計400円分買ったとき、それぞれ何個ですか？』という問題を考えてみましょう。

中学生はこの問題を解くのに、連立方程式を立てることができます。しかし、果物の種類が増えると、連立方程式の数も増え、手計算での解決が困難になってしまいます。

線形代数では、この問題を行列とベクトルを使って効率的に解くことができます。行列とベクトルを使って表すことで、果物の種類が増えても行列とベクトルの次数が増えるだけで、式の形は基本的に変わらず、コンピューターを使って高速に解くことが可能になります。

ベクトルや行列に表すことでコンピューターが理解できる！

基本的に、コンピューターは0と1の二進数のみで情報を処理します。これを利用して、複雑な情報もベクトルや行列として表現し、コンピューターに理解させることができます。例えば、猫の画像はそのままの形ではコンピューターは簡単には解釈できません。しかし、画像を0と1の数値の組に変換することで、コンピューターは効率的に処理できるようになります。

線形代数はビッグデータの背骨である

線形代数は、ビッグデータの解析と非常に相性がいいことが知られています。なぜなら、線形代数は先ほどの例のように、ベクトルや行列を用いて情報やデータを整理し、コンピューターが効率的に処理できる形に変換する手段だからです。

ビッグデータの多くの情報は、ベクトルや行列として整理され、さらにその上で計算や変換が処理されます。例えば、映画のレコメンデーションシステムや、商品の購買予測など、私たちの日常に密接に関わる多くのシステムが、線形代数の技術をベースに動作しています。

このように、ビッグデータの分析や処理の背後には、線形代数の理論と技術が深く関わっているのです。　

AIにも欠かせない線形代数

また、線形代数はAIにも欠かせない存在です。例えば、ディープラーニングの一種であるニューラルネットワークは数多くの層から構成され、各層の間でのデータは行列の乗算として伝播されていきます。これを効率よく計算するには、線形代数の知識が不可欠です。また、データの特徴を捉えるための主成分分析や、変数間の関係性を調べるための回帰分析など、多くの機械学習の手法も線形代数の理論に基づいています。

さらに、AIのモデル訓練の際には、大量のデータを効率的に扱う必要があります。線形代数を利用することで、これらのデータをベクトルや行列として一括処理することができ、計算の高速化やメモリーを効率的に使えます。

世の中で広く使われる線形代数

線形代数は、ビッグデータやAI以外にも多くの分野で欠かせない数学の道具です。

例えば、建築や土木工学では、建物の強度計算や振動解析に利用され、電気や通信工学では信号処理やフィルタ設計に役立ちます。また、物理学や化学のデータ解析、経済学のリスク管理やポートフォリオ最適化にも、線形代数の手法が取り入れられています。

日常生活を支える多くの技術の背後に、線形代数の理論が存在しており、実用的な問題解決の強力なツールとして活躍しています。

GPUと量子コンピューターは行列計算を高速化する

近年のテクノロジーの進化に伴い、行列計算の高速化が急速に進んでいます。中でもGPU（Graphics Processing Unit）と量子コンピューターは、この分野での革命的な存在となっています。

GPUは元々、グラフィック処理のためのハードウェアとして開発されました。しかし、並列処理の能力に優れているため、大量の行列計算やディープラーニングのトレーニングなどの計算処理にも利用されるようになりました。特に、行列の乗算などの繰り返し計算が必要なタスクでは、CPUよりも数十倍から数百倍も高速な計算が可能です。

リープリーパーでも何度も紹介している量子コンピューターは、量子力学の原理を利用して計算を処理する新しいタイプのコンピューターです。従来のコンピューター（古典コンピューター）がビット（bit）を使用するのに対し、量子コンピューターは「量子ビット（qbit）」と呼ばれる情報の単位を使用します。この量子ビットの特性により、複数の計算を同時に処理する「並列計算」が可能となり、特定の問題に対しては、従来のコンピューターよりも遙かに高速な計算を処理できると期待されています。

これらの技術の進化により、ビッグデータの解析や複雑なシミュレーション、AIの学習など、大量の行列計算が必要なタスクが劇的に高速化されることが期待されています。